Question

12．如图所示，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点是F，抛物线C上的横坐标为1的点到焦点F的距离是2，直线l经过点F交抛物线C于A、B两点，A点在x轴下方，点D和点A关于x轴对称．
（1）若$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，求直线l的方程；
（2）求S²_OAF+S²_△OBD的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C上的横坐标为1的点到焦点F的距离是2，求出抛物线的方程；设出A、B坐标，利用$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，求出A、B坐标之间的关系，然后求直线l的方程；
（2）求出S²_OAF+S²_△OBD的表达式，利用基本不等式求S²_OAF+S²_△OBD的最小值．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的准线为x=-$\frac{p}{2}$．
由题意，抛物线C上的横坐标为1的点到焦点F的距离是2，∴1+$\frac{p}{2}$=2，∴p=2． 
∴所求抛物线的方程为y²=4x．
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，
∴（1-x₂，-y₂）=4（x₁-1，y₁），
∴1-x₂=4（x₁-1），-y₂=4y₁…①
由题意，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，得ky²-4y-4k=0，
因为直线l与C相交于A，B两点，所以k≠0，
则△=16+16k²＞0，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，…②
由①②，得方程组k=±$\frac{4}{3}$，
∵A点在x轴下方，∴直线l的方程为y=$\frac{4}{3}$（x-1）；
（2）直线OB的方程为y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$x，即2px-y₂y=0，
∵点D和点A关于x轴对称，
∴D（x₁，-y₁），
∴D到直线OB的距离d=$\frac{|2p{x}_{1}+{y}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{4{p}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{|2p{x}_{1}-4|}{\sqrt{2p（2p+{x}_{2}）}}$，
∴S²_△OBD=$\frac{1}{4}$×x₂×（2p+x₂）×$\frac{（2p{x}_{1}-4）^{2}}{2p（2p+{x}_{2}）}$=$\frac{{x}_{2}（p{x}_{1}-2）^{2}}{2p}$=${x}_{2}（{x}_{1}-1）^{2}$，
∵直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁x₂=1
∵S²_OAF=$\frac{1}{4}$×1×${{y}_{1}}^{2}$=x₁，
∴S²_OAF+S²_△OBD=x₁+$\frac{（{x}_{1}-1）^{2}}{{x}_{1}}$=2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-2≥2$\sqrt{2}$-2，
当且仅当2x₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，即x₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，S²_OAF+S²_△OBD的最小值为2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查直线与抛物线的方程，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查转化思想，函数与方程的思想，是中档题．