Question

12．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点$（0，\frac{1}{4}）$和它到定直线$y=-\frac{1}{4}$的距离相等，设点P的轨迹为C₁，将曲线C₁上每一点的横坐标变为原来的2倍，再向上平移1个单位得到曲线C₂．
（1）求曲线C₁，C₂的方程；
（2）过定点M（0，1）作两条互相垂直的直线l₁、l₂，与曲线C₂分别相交于A、B两点，则△AMB的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义可得点P的轨迹C₁为抛物线，再利用坐标变换得到曲线C₂．
（2）设直线直线l₁的斜率为k（k≠0），则l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$，其直线方程分别为：y=kx+1，y=-$\frac{1}{k}$x+1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分别与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用就不不等式的性质及其S_△AMB=$\frac{1}{2}|AM||BM|$，即可得出．

解答 解：（1）由抛物线的定义可得：点P的轨迹C₁为抛物线：x²=y．
将曲线C₁上每一点的横坐标变为原来的2倍，再向上平移1个单位得到曲线C₂：$（\frac{1}{2}x）^{2}$=y-1，可得y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1．
（2）设直线直线l₁的斜率为k（k≠0），则l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$，其直线方程分别为：y=kx+1，y=-$\frac{1}{k}$x+1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4k}\\{y=4{k}^{2}+1}\end{array}\right.$，可得A（4k，4k²+1）．
同理可得B$（-\frac{4}{k}，\frac{4}{{k}^{2}}+1）$．
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}|AM||BM|$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{k}^{2}+（4{k}^{2}+1-1）^{2}}$$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+（\frac{4}{{k}^{2}}+1-1）^{2}}$=8$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≥8$\sqrt{2+2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}}$=16，当且仅当k=±1时取等号．
∴当k=±1时，△AMB的面积取得最小值16．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、两点之间距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．