Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3tx+8，x≤8}\\{（t-39）\sqrt{x}，x＞8}\end{array}\right.$，记a_n=f（n）（n∈N^*），若数列{a_n}单调递减，则实数t的取值范围是（5，7）．

Answer 1

分析 根据分段函数的单调性进行求解即可．

解答 解：要使函数f（x）=x²-3tx+18在x≤8（x∈N^*）时单调递减，则$\frac{7+8}{2}$$＜\frac{3t}{2}$，解得t＞5；
要使函数f（x）=（t-39）$\sqrt{x}$在x＞8单调递减，则必须满足t-39＜0，解得t＜39．
又函数f（x）在x∈N^*时单调递减，则f（8）=64-24t+8＞（t-39）$\sqrt{9}$，
即27t＜189，解得t＜7．
联立$\left\{\begin{array}{l}{t＞5}\\{t＜39}\\{t＜7}\end{array}\right.$，解得5＜t＜7．
故t的取值范围是（5，7）
故答案为：（5，7）

点评 本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．