Question

5．已知a＞b＞c，a+b+c=1，a²+b²+c²=1，
（1）求a+b的范围；
（2）求a²+b²的范围．

Answer 1

分析 （1）a＞b＞c，可得c＜$\frac{1}{3}$，再由$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$＞（$\frac{a+b}{2}$）²，（a＞b），可得c的不等式，解得即可得到a+b的范围；
（2）由c的范围，可得c²的范围，由a²+b²=1-c²，进而得到上去范围．

解答 解：（1）a＞b＞c，a+b+c=1，a²+b²+c²=1，
可得2c＜a+b=1-c，即有c＜$\frac{1}{3}$，
由$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$＞（$\frac{a+b}{2}$）²，（a＞b），
可得$\frac{1-{c}^{2}}{2}$＞$\frac{（1-c）^{2}}{4}$，
解得-$\frac{1}{3}$＜c＜1，
即有-$\frac{1}{3}$＜c＜$\frac{1}{3}$，
则有$\frac{2}{3}$＜1-c＜$\frac{4}{3}$，
即为a+b的范围是（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
（2）由（1）得-$\frac{1}{3}$＜c＜$\frac{1}{3}$，
即有0≤c²＜$\frac{1}{9}$，
由a²+b²=1-c²，
可得$\frac{8}{9}$＜a²+b²≤1．
故a²+b²的范围是（$\frac{8}{9}$，1]．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．