Question

【题目】已知函数f（x）=.

（I）求f（x）在区间[1，a]（a>1）上的最小值；

（II）若关于x的不等式f2（x）+mf（x）>0只有两个整数解，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】.（1）当1<a≤2时，f（x）的最小值为f（1）=ln2；当a>2，f（x）的最小值为f（a）=；（2）（-ln2，-ln6]

【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；利用函数的单调性求出极值，与区间端点值的函数值比较大小可得结果；（2）时，整数解有无数多个，不合题意时，整数解有无数多个，不合题意； 时，不等式有两整数解，则.

试题解析：（1）f '（x）=，令f '（x）>0得f（x）的递增区间为（0， ）；

令f '（x）<0得f（x）的递减区间为（，+），

∵x∈[l，a]，则当1<a≤时，f（x）在[1，a]上为增函数，f（x）的最小值为

f（1）=ln2； . . . . . . . . . . . 3分

当a>时，f（x）在[1， ）上为增函数，在（，a]上为减函数，f（2）==ln2=f（1），

∴若<a≤2，f（x）的最小值为f（1）=ln2，

若a>2，f（x）的最小值为f（a）=，

综上，当1<a≤2时，f（x）的最小值为f（1）=ln2；

当a>2，f（x）的最小值为f（a）=.

（2）由（1）知，f（x）的递增区间为（0， ），递减区间为（，+∞），且在（，+）上ln2x>lne=1>0，又x>0，则f（x）>0. 又f（）=0.

∴m>0时，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）>0或f（x）<-m，而f（x）>0解集为（，+），整数解有无数多个，不合题意；

m=0时，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）≠0，解集为（0， ）（，+∞），整数解有无数多个，不合题意； . . . . . 10分

m<0时，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）>-m或f（x）<0，∵f（x）<0解集为（0， ）无整数解，若不等式f2（x）+mf（x）>0有两整数解，则f（3）≤-m<f（1）=f（2），

∴-ln2<m≤-ln6

综上，实数m的取值范围是（-ln2，-ln6]