Question

12．若函数f（x）的图象上存在不同的两点，使得此函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称函数f（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（　　）

• A． f（x）=x³-x²+x
• B． f（x）=-2x+sinx
• C． f（x）=e^x-e^-x
• D． f（x）=1+xlnx

Answer 1

分析 若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1，进而可得答案．

解答 解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1，
当f（x）=x³-x²+x时，f′（x）=3x²-2x+1≥$\frac{2}{3}$，不满足条件；
当f（x）=-2x+sinx时，f′（x）=-2+cosx＜0恒成立，不满足条件；
当f（x）=e^x-e^-x时，f′（x）=e^x+e^-x≥2，不满足条件；
当f（x）=1+xlnx时，f′（x）=1+lnx∈R，满足条件．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．