Question

已知f（x）=lnx-

a

x

（a∈R）
（1）若a＜0且f（x）在[1，e]的最小值为

3

2

，求a的值；
（2）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=

x+a

x2

；讨论导数的正负以确定单调性，从而求最小值，从而求a；
（2）f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立可化为a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立；令F（x）=xlnx-x³，从而化为函数的最值问题．

解答： 解：（1）f′（x）=

x+a

x2

；
①当-1≤a＜0时，f（x）在[1，e]上是增函数，
故f（1）=0-a=

3

2

，故a=-

3

2

（舍去）；
②当-e＜a＜-1时，f（x）在[1，e]上先减后增，
故f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，故a=-

e

；
③当a≤-e时，f（x）在[1，e]上是减函数，
故f（e）=1-

a

e

=

3

2

，故a=-

e

2

（舍去）；
故a=-

e

；
（2）f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立可化为
a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立；
令F（x）=xlnx-x³，
则F′（x）=lnx+1-3x²，
 F″（x）=

1

x

-6x；
当x≥1时，F″（x）＜0；
故F′（x）=lnx+1-3x²在（1，+∞）上是减函数，
故F′（x）＜F′（1）=0+1-3＜0；
故F（x）=xlnx-x³在（1，+∞）上是减函数，
故F（x）＜0-1=-1；
故a≥-1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．