Question

如图，在平面四边形ABCD中，DE=1．EC=

7

，∠ADC=

2π

3

∠BEC=

π

3

，求
（1）CD；
（2）求cos∠AEB．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在△CDE中，由余弦定理可得：EC²=DE2+DC2-2DE•DC•cos∠ED，解出即可．
（2）在△CDE中，由正弦定理可得：

DC

sin∠DEC

=

EC

sin∠CDE

，可得sin∠DEC\=

DC•sin∠CDE

EC

，∠DEC为锐角，可得cos∠DEC=

1-sin2∠DEC

．设∠DEC=α．
利用cos∠AEB=cos(π-

π

3

-α)=cos

2π

3

cosα+sin

2π

3

sinα即可得出．

解答： 解：（1）在△CDE中，由余弦定理可得：EC²=DE2+DC2-2DE•DC•cos∠ED，
∴7=1+DC2-2DC×1×cos

2π

3

，
化为DC²+DC-6=0，
解得DC=2．
（2）在△CDE中，由正弦定理可得：

DC

sin∠DEC

=

EC

sin∠CDE

，
∴sin∠DEC\=

DC•sin∠CDE

EC

=

2×sin 2π 3

7

=

21

7

．
∵∠DEC为锐角，∴cos∠DEC=

1-sin2∠DEC

=

2 7

7

．
设∠DEC=α．
∴cos∠AEB=cos(π-

π

3

-α)=cos

2π

3

cosα+sin

2π

3

sinα
=-

1

2

×

2 7

7

+

3

2

×

21

7

=

7

14

．

点评：本题考查了正弦定理与余弦定理、诱导公式、两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．