【题目】已知数列满足
,
.
(1)若.
①设,求证:数列
是等比数列;
②若数列的前
项和
满足
,求实数
的最小值;
(2)若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,且
,
,求数列
的通项公式.
【答案】(1)①见解析②的最小值为6.(2)
,
.
【解析】
(1)①由已知可得
,又
,再利用等比数列的定义即可;②利用累计法可得
是以6为首项,
为公比的等比数列,再用公式法求得
即可;
(2)设奇数项所成等差数列的公差为,偶数项所成等差数列的公差为
,对n分n为奇数和偶数进行讨论,结合
,
可得
,进一步得到数列
的通项公式.
(1)①因为,且
,
所以数列是以
为首项,
为公比的等比数列.
②由①知,,
所以
,
则,所以
是以6为首项,
为公比的等比数列,
所以.
当时,
有最大值6,所以实数
的最小值为6.
(2)设奇数项所成等差数列的公差为,偶数项所成等差数列的公差为
①当为奇数时,
,
,
则,即
,
所以,故
.
②当为偶数时,
,
,
则,即
,
所以,故
.
综上可得,.
又,所以
.
所以当为奇数时,
;
当为偶数时,
.
故数列的通项公式为
,
.
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【题目】近年来,“无桩有站”模式的公共自行车日益普及,即传统自行车加装智能锁,实现扫码租车及刷卡租车、某公司量产了甲、乙两种款式的公共自行车并投人使用,为了调查消费者对两种自行车的租赁情况,现随机抽取这两种款式的自行车各100辆,分别统计了每辆车在某周内的出租次数,得到甲、乙两种自行车这周内出租次数的频数分布表:
甲 | |||||
出租次数(单位:次) | |||||
频数 | 10 | 10 | 60 | 15 | 5 |
乙 | |||||
出租次数(单位:次) | |||||
频数 | 20 | 25 | 25 | 10 | 20 |
(1)根据频数分布表,完成上面频率分布直方图,并根据频率分布直方图比较甲、乙两种自行车这周内出租次数方差的大小(不必说明理由);
(2)如果两种自行车每次出租获得的利润相同,该公司决定大批量生产其中一种投入某城市使用,请你根据所学的统计知识,给出建议应该生产哪一种自行车,并说明你的理由.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且椭圆
过点
.过点
做两条相互垂直的直线
、
分别与椭圆
交于
、
、
、
四点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若,
,探究:直线
是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】2019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就,我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右,每侧3艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法种数为( )
A.1296B.648C.324D.72
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【题目】某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控,确保居民在小区封闭期间生活不受影响,小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应,超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查,得到了以下频率分布直方图.
(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率,求至少有两户购买量在(单位:
)的概率是多少?
②若抽取的5户中购买量在(单位:
)的户数为2户,从5户中选出3户进行生活情况调查,记3户中需求量在
(单位:
)的户数为
,求
的分布列和期望;
(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较,当超出平均购买量不少于时,则称该居民户称为“迫切需求户”,若从小区随机抽取10户,且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大,试求k的值.
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【题目】已知椭圆E:(
)的离心率
,左、右焦点分别为
、
,
,过点P的直线斜率为k,交椭圆E于A,B两点,
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A关于x轴的对称点为C,证明:三点B、、C共线;
(3)若点B在一象限,A关于x轴的对称点为C,求的取值范围.
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【题目】已知椭圆Γ:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.短轴的两个顶点与F1,F2构成面积为2的正方形,
(1)求Γ的方程:
(2)如图所示,过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A,B两点,连接AO交Γ于点C,求△ABC面积的最大值.
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【题目】下列命题中,错误命题是
A. “若,则
”的逆命题为真
B. 线性回归直线必过样本点的中心
C. 在平面直角坐标系中到点和
的距离的和为
的点的轨迹为椭圆
D. 在锐角中,有
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