Question

13．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{A{F_1}}=3\overrightarrow{{F_1}B}$．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点P（0，-1），|PA|=|PB|，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），由|AF₁|=3|F₁B|知：y₁=-3y₂．l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，再利用根与系数的关系，即可得出．
（2）由（1）c=b，3y²-2by-b²=0，设AB中点为M（x₀，y₀），再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），
由|AF₁|=3|F₁B|知：y₁=-3y₂…①
l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{{2{b^2}c}}{{{a^2}+{b^2}}}$…②，${y_1}{y_2}=\frac{b^4}{{{a^2}+{b^2}}}$…③
由①②③得：$a=\sqrt{2}b$，故$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）由（1）c=b，3y²-2by-b²=0，
设AB中点为M（x₀，y₀），则${y_0}=\frac{1}{2}（{y_1}+{y_2}）=\frac{b}{3}$，${x_0}={y_0}-c=-\frac{2b}{3}$．
又k_PM=-1，得$-1=\frac{{\frac{b}{3}+1}}{{-\frac{2b}{3}}}$，解得b=3，a²=18，
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．