Question

设数列{a_n}满足：①a₁=1；②所有项a_n∈N^*；③1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜a_n+1＜…设集合A_m={n|a_n≤m，m∈N^*}，将集合A_m中的元素的最大值记为b_m．换句话说，b_m是数列{a_n}中满足不等式a_n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b_n}为数列{a_n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
（1）若数列{a_n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a_n}；
（2）设a_n=3^n-1，求数列{a_n}的伴随数列{b_n}的前100之和；
（3）若数列{a_n}的前n项和S_n=

3

2

n2-

1

2

n+c（其中c常数），试求数列{a_n}的伴随数列{b_n}前m项和T_m．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列{a_n}；
（2）根据伴随数列的定义得：n≤1+log3m  (m∈N*)，由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列{b_n}的前100项以及它们的和；
（3）由题意和a_n与S_n的关系式求出a_n，代入a_n≤m得n≤

m+2

3

   (m∈N*)，并求出伴随数列{b_m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b_m}的前m项和T_m．

解答： 解：（1）1，4，7．                                    

（2）由an=3n-1≤m，得n≤1+log3m  (m∈N*)
∴当1≤m≤2，m∈N^*时，b₁=b₂=1，
当3≤m≤8，m∈N^*时，b₃=b₄=…=b₈=2，
当9≤m≤26，m∈N^*时，b₉=b₁₀=…=b₂₆=3，
当27≤m≤80，m∈N^*时，b₂₇=b₂₈=…=b₈₀=4，
当81≤m≤100，m∈N^*时，b₈₁=b₈₂=…=b₁₀₀=5，
∴b₁+b₂+…+b₁₀₀=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384．

（3）∵a₁=S₁=1+c=1∴c=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n-2
∴an=3n-2  (n∈N*)…（2分）
由a_n=3n-2≤m得：n≤

m+2

3

   (m∈N*)
因为使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，
所以  b1=b2=b3=1，b4=b5=b6=2，…，b3t-2=b3t-1=b3t=t   (t∈N*)，
当m=3t-2（t∈N^*）时：Tm=3•

1+(t-1)

2

•(t-1)+t=

3t2-t

2

=

1

6

(m+1)(m+2)，
当m=3t-1（t∈N^*）时：Tm=3•

1+(t-1)

2

•(t-1)+2t=

3t2+t

2

=

1

6

(m+1)(m+2)，
当m=3t（t∈N^*）时：Tm=3•

1+t

2

•t=

3(t2+t)

2

=

1

6

m(m+3)，
所以Tm=

(m+1)(m+2) 6 ，m=3t-2或m=3t-1 m(m+3) 6 ，m=3t

（其中t∈N^*）．

点评：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题．