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设二次函数,对任意实数,有恒成立;数列满足.
(1)求函数的解析式和值域;
(2)试写出一个区间,使得当时,数列在这个区间上是递增数列,并说明理由;
(3)已知,是否存在非零整数,使得对任意,都有
 恒成立,若存在,
求之;若不存在,说明理由.

解:(1)由恒成立等价于恒成立,…1分
从而得:,化简得,从而得
所以,………3分
其值域为.…………………4分
(2)解:当时,数列在这个区间上是递增数列,证明如下:
,则
所以对一切,均有;………………7分


从而得,即,所以数列在区间上是递增数列…10分
注:本题的区间也可以是等无穷多个.
另解:若数列在某个区间上是递增数列,则
…7分
又当时,
∴对一切,均有
∴数列在区间上是递增数列.…………………………10分
(3)(文科)由(2)知,从而

; ………12分
,则有
从而有,可得
∴数列是以为首项,公比为的等比数列,………14分
从而得,即

,∴, …16分
∴,
.   ………………………18分
(3)(理科)由(2)知,从而

;………12分
,则有
从而有,可得,所以数列为首项,公比为的等比数列,…………………14分
从而得,即
所以
所以,所以解析

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