设二次函数,对任意实数,有恒成立;数列满足.
(1)求函数的解析式和值域;
(2)试写出一个区间,使得当时,数列在这个区间上是递增数列,并说明理由;
(3)已知,是否存在非零整数,使得对任意,都有
恒成立,若存在,
求之;若不存在,说明理由.
解:(1)由恒成立等价于恒成立,…1分
从而得:,化简得,从而得,
所以,………3分
其值域为.…………………4分
(2)解:当时,数列在这个区间上是递增数列,证明如下:
设,则,
所以对一切,均有;………………7分
从而得,即,所以数列在区间上是递增数列…10分
注:本题的区间也可以是、、等无穷多个.
另解:若数列在某个区间上是递增数列,则
即…7分
又当时,,
∴对一切,均有且,
∴数列在区间上是递增数列.…………………………10分
(3)(文科)由(2)知,从而;
,
即; ………12分
令,则有且;
从而有,可得,
∴数列是以为首项,公比为的等比数列,………14分
从而得,即,
∴ ,
∴,∴, …16分
∴,
. ………………………18分
(3)(理科)由(2)知,从而;
,
即;………12分
令,则有且;
从而有,可得,所以数列是为首项,公比为的等比数列,…………………14分
从而得,即,
所以 ,
所以,所以解析
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)已知二次函数f (x)=,设方程f (x)
=x的两个实根为x1和x2.
(1)如果x1<2<x2<4,且函数f (x)的对称轴为x=x0,求证:x0>—1;
(2)如果∣x1∣<2,,∣x2—x1∣=2,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x-x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台)
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量多少时,企业所得的利润最大?
(3)年产量多少时,企业才不亏本?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
定义域为R,且对任意实数都满足不等式的所有函数组成的集合记为M,例如,函数。
(1)已知函数,证明:;
(2)写出一个函数,使得,并说明理由;
(3)写出一个函数,使得数列极限
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,当恒成立的a的最小值为k,存在n个
正数,且,任取n个自变量的值
(I)求k的值;
(II)如果
(III)如果,且存在n个自变量的值,使,求证:
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