Question

16．已知圆C的圆心在直线x+y+1=0，半径为5，且圆C经过点P（-2，0）和点Q（5，1）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点A（-3，0）且与圆C相切的切线方程．

Answer 1

分析 （1）根据条件利用待定系数法求出圆心即可求圆C的标准方程；
（2）根据直线和圆相切的等价条件即可求过点A（-3，0）且与圆C相切的切线方程．

解答 解：（1）设圆C：（x-a）²+（y-b）²=25，点C在直线x+y+1=0上，则有a+b+1=0，圆C经过点P（-2，0）和点Q（5，1），即：$\left\{\begin{array}{l}{（-2-a）^2}+{（0-b）^2}=25\\{（5-a）^2}+{（1-b）^2}=25\end{array}\right.$，解得：a=2，b=-3．
所以，圆C：（x-2）²+（y+3）²=25．          …（5分）
（2）①若直线l的斜率不存在，即直线是x=-3，与圆相切，符合题意．…（7分）
②若直线l斜率存在，设直线l为y=k（x+3），即kx-y+3k=0．
由题意知，圆心C（2，-3）到直线l的距离等于半径5，即：$\frac{{|{2k+3+3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=5$（9分）
解得$k=\frac{8}{15}$，切线方程是$y=\frac{8}{15}（x+3）$．   …（11分）
所求切线方程是x=-3或$y=\frac{8}{15}（x+3）$．…（12分）

点评 本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆相切的位置关系的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．