Question

6．已知f（x+y）=f（x）+f（y）且f（1）=2，则f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于（　　）

• A． f（1）+2f（1）+…+nf（1）
• B． f（$\frac{n（n+1）}{2}$）
• C． n（n+1）
• D． n（n+1）f（1）

Answer 1

分析 根据题意，令x=n、y=1，证出f（n+1）-f（n）=2，得{f（n）}构成以2为首项、公差为2的等差数列．由等差数列通项公式算出f（n）=2n，进而得到{f（n）}前n项和等于n（n+1）．由此再将各项和运算结果加以对照，可得本题答案．

解答 解：令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2，
可得{f（n）}构成以f（1）=2为首项，公差为2的等差数列，
∴f（n）=2+（n-1）×2=2n，
因此，f（1）+f（2）+…+f（n）=$\frac{n[f（1）+f（n）]}{2}$=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n（n+1）
对于A，由于f（1）+2f（1）+3f（1）+…+nf（1）
=f（1）（1+2+…+n）=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），故A正确；
对于B，由于f（n）=2n，所以f[$\frac{n（n+1）}{2}$]=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），得B正确；
对于C，与求出的前n项和的通项一模一样，故C正确．
对于D，由于n（n+1）f（1）=2n（n+1），故D不正确．
故选：D

点评 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式的知识，考查了采用赋值法解决抽象函数问题的方法，属于中档题．