Question

15．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是二个不共线向量，知$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$-8$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
（1）证明：A、B、D三点共线；
（2）若$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$，且B、D、F三点共线，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理即可证明；
（2）B、D、F三点共线，可知：存在实数λ，使$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{BD}$，代入计算利用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个不共线向量即可得出．

解答 （1）证明：$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BD}$，B为公共点，
∴A、B、D三点共线．
（2）∵B、D、F三点共线，∴存在实数λ，使$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{BD}$，
∴4$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$=λ$（\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}）$，
∴$（4-λ）\overrightarrow{a}$=（k-4λ）$\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个不共线向量，
∴4-λ=k-4λ=0，
解得k=16．

点评 本题考查了向量共线定理、向量线性运算性质、向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．