某同学的数学研究性学习课题是:在校内一块不规则土地OABC规划一个矩形运动场地．经过测量发现AB⊥BC.OA∥BC.曲线段OC可近似看作是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.OA=20m.AB=BC=40m．(1)该同学在测绘图上建立了以O为原点.直线AO为x轴的直角坐标系.请帮他计算曲线段OC对应的函数关系式,(2)如果矩形运动场地BDEF的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

某同学的数学研究性学习课题是：在校内一块不规则土地OABC（测绘图如图所示）规划一个矩形运动场地．经过测量发现AB⊥BC，OA∥BC，曲线段OC可近似看作是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段，OA=20m，AB=BC=40m．
（1）该同学在测绘图上建立了以O为原点，直线AO为x轴的直角坐标系，请帮他计算曲线段OC对应的函数关系式；
（2）如果矩形运动场地BDEF的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点E落在曲线段OC上，该同学应如何规划才能使运动场地面积最大？

考点：抛物线的应用

专题：应用题

分析：（1）建立平面直角坐标系，设曲线段OC所在的抛物线方程，利用点C的坐标为（20，40），即可求出抛物线的方程；
（2）设矩形运动场在曲线段OC上的顶点（x，

x2），表示出矩形的面积S关于x的函数，利用求导即可求得使面积S最大时的x的值，则运动场地的长和宽可求．

解答： 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示，设曲线段OC所在的抛物线方程为y=ax²（a＞0），

由已知得点C的坐标为（20，40），代入方程得：a=

．
∴抛物线的方程为y=

x2；
（2）设矩形运动场在曲线段OC上的顶点（x，

x2），则矩形面积：
S=(20+x)(40-

x2)=-

x3-2x2+40x+800（0≤x＜20），
∴S′=-

(x+20)(3x-20)，
令S′=0，可得x=-20或x=

．
∵0≤x＜20，∴x=

．
当0＜x＜

时，S′＞0；当x＞

时，S′＜0．
∴x=

是S的极大值点，也是最大值点．
答：当矩形的长为

m．宽为

320

m时，运动场地面积最大．

点评：本题考查抛物线的应用，考查了数学建模思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．

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