Question

【题目】在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，两点，设，

（1）求证：为定值

（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理即可求解；（2）假设存在符合题意的直线，设出直线方程，利用圆的性质求解是否符合题意即可.

试题解析：（1）当直线垂直于轴时，，，因此(定值)，

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由得，

∴，因此有为定值；（2）设存在直线：满足条件，则的中点，，因此以为直径的圆的半径，

点到直线的距离，∴所截弦长为

，当即时，弦长为定值2，这时直线方程为.

【思路点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.