Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S=a²-（b-c）²，则sin

A

2

=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：利用余弦定理及三角形面积公式列出关系式，变形后代入已知等式，整理求出tan

A

2

的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin

A

2

的值即可．

解答： 解：将S=

1

2

bcsinA，a²=b²+c²-2bccosA，代入已知等式得：

1

2

bcsinA=a²-b²-c²+2bc=-2bccosA+2bc，
整理得：

1

2

sinA=-2cosA+2，即sinA=4（1-cosA），
化简得：2sin

A

2

cos

A

2

=4×2sin²

A

2

，
∴tan

A

2

=

1

4

，cos²

A

2

=

1

1+tan2 A 2

=

16

17

，
则sin

A

2

=

1-cos2 A 2

=

17

17

．
故答案为：

17

17

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．