Question

二次函数y=x²-2x+2与y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）在它们的一个交点处的切线互相垂直，则

1

a

+

1

b

的最小值是（　　）

• A、

  16

  5

• B、

  8

  5

• C、4
• D、

  24

  5

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,基本不等式

专题：计算题,导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：先对两个二次函数进行求导，然后设交点坐标，根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到 a+b=，再由用基本不等式可求得最小值．

解答： 解：∵y=x²-2x+2，∴y'=2x-2，
∵y=-x²+ax+b，∴y'=-2x+a，
设交点为（x₀，y₀），
∵它们在一个交点处切线互相垂直，
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，即4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，①
由交点分别代入二次函数式，整理得，
2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0，即4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0，②
由①②整理得 2a-1-4+2b=0，即a+b=

5

2

，（a＞0，b＞0）
∴

1

a

+

1

b

=

2

5

（a+b）（

1

a

+

1

b

）=

2

5

（2+

b

a

+

a

b

）≥

2

5

（2+2

b a • a b

）=

8

5

，
当且仅当a=b=

5

4

，取最小值

8

5

．
故选：B．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用导数的几何意义是解决本题的关键，一定要注意用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”．综合性较强，运算量较大．