Question

已知函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0）．
（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；
（Ⅱ）若f（x）＞

k

x+1

?x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的单调性及单调区间

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的符号即可作出判断；
（Ⅱ）f（x）＞

k

x+1

恒成立，化为h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．求导h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，记g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），利用导数可判断g（x）的单调性及g（x）的零点所在区间，进而可得h（x）的最小值，得到k的范围，由此可求最小正整数k．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．证明如下：
f′（x）=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=-

1

x2

[

1

x+1

+ln（x+1）]，
∵x＞0，∴x²＞0，

1

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）f（x）＞

k

x+1

恒成立，即h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．
h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，记g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），
则g′（x）=

x

x+1

＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），g（a）=0，即a=1+ln（a+1），
当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（a）=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

=a+1∈（3，4），
∴k＜a+1，
故正整数k的最大值为3．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值及函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．