Question

1．已知向量$\vec m$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\vec n$=（cosx，sinx）．
（1）若$\vec m∥\vec n$且$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求角x；
（2）若f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，函数g（x）=f（x+$\frac{π}{12}$），求函数g（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由已知结合向量平行的坐标运算列式求得x值；
（2）求出f（x）的解析式，可得g（x），化简后即可求得周期，再由复合函数的单调性求得函数g（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵$\vec m$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\vec n$=（cosx，sinx），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，
∴$\sqrt{3}si{n}^{2}x-sinxcosx=0$，即sinx（$\sqrt{3}sinx-cosx$）=0，
∴sinx=0或tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴x=0或x=$\frac{π}{6}$；
（2）由f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}sinxcosx+si{n}^{2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
可得g（x）=f（x+$\frac{π}{12}$）=$sin2x+\frac{1}{2}$．
∴T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{4}+kπ$，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{4}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题．