Question

6．（1）函数f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数，求m的值；
（2）已知函数y=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$（n∈Z）的图象与两坐标轴均无交点，且其图象关于y轴对称．
①求出n的值；
②画出函数图象的示意图．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-m-1=1}\\{{m}^{2}-2m-3＜0}\end{array}\right.$，解得m即可．
（2）①由题意可知：n²-2n-3＜0，且n²-2n-3为偶数．解出即可．
②由①可得：y=x^-4．如图所示．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-m-1=1}\\{{m}^{2}-2m-3＜0}\end{array}\right.$，解得m=2或m=-1（舍）．
∴m=2．
（2）①由题意可知：n²-2n-3＜0，且n²-2n-3为偶数．
解得n=1．
②由①可得：y=x^-4．
如图所示：

点评 本题考查了幂函数的定义解析式图象及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．