Question

已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=a_n•a_n+1+1（n∈N^*），其中a₁=1．
（1）求证：a₁，a₃，a₅成等差数列；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足2^b_n=1+

1

an

(n∈N*)，且T_n为其前n项和，求证：对任意正整数n，不等式2T_n＞log₂a_n+1恒成立．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系式求出数列中的各项的值．
（2）利用递推关系式求数列的通项公式，先进行分类，进一步总结出数列的通项公式．
（3）根据（2）的结论，进一步求出数列{b_n}的通项公式，再利用数学归纳法进行证明，从而得到恒成立问题．

解答： （1）证明：各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=a_n•a_n+1+1（n∈N^*），
其中a₁=1．
则：当n=1时，解得：a₂=3
当n=2时，解得：a₃=5
当n=3时，解得：a₄=7
当n=4时，解得：a₅=9
由于：2a₃=a₁+a₅
所以：a₁，a₃，a₅成等差数列．
（2）证明：由于4S_n=a_na_n+1+1①
所以：4S_n-1=a_na_n-1+1②
①-②得：a_n+1-a_n-1=4
则数列的相邻项成等差数列．
③当数列是奇数项时，a₁=1公差为4
则：数列a_n=1+4（n-1）=4n-3
④当数列是偶数项时，a₂=3
则：数列a_n=3+4（n-1）=4n-1
则相邻项的差值为2，所以数列{a_n}为等差数列．
（3）解：由（2）得到：a_n=1+2（n-1）=2n-1
所以：2bn=1+

1

an

整理得：bn=log2

2n

2n-1

T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2(

2

1

•

4

3

•…

2n

2n-1

)
则：要使不等式2T_n＞log₂a_n+1恒成立
只需满足2log2(

2

1

•

4

3

…

2n

2n-1

)＞log2an+1恒成立即可．
即：

2

1

•

4

3

•…

2n

2n-1

＞

2n+1

恒成立
用数学归纳法证明：
①当n=1时，2＞

3

恒成立．
②当n=k时，

2

1

•

4

3

•…

2k

2k-1

＞

2k+1

恒成立
则：当n=k+1时，(

2

1

•

4

3

•…

2k

2k-1

)

2k+2

2k-1

＞

2k+1

2k+2

2k+1

=

(2k+2)2 2k+1

=

(2k+1)2+2(2k+1)+1 2k+1

＞

2k+1+2+ 1 2k+1

＞

2k+3

=

2(k+1)+1

所以无论n取任意正整数上述不等式恒成立．

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，数学归纳法的应用．属于中等题型．