Question

6．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合．
（1）若终边经过点P（-1，2），求sinαcosα的值；
（2）若角α的终边在直线y=-3x上，求10sinα+$\frac{3}{cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、cosα的值，可得sinαcosα的值．
（2）分角α的终边在第二象限、角α的终边在第四象限两种情况，分别利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、cosα的值，可得10sinα+$\frac{3}{cosα}$的值．

解答 解：（1）由题知：x=-1，y=2，则r=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴sinαcosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•（-\frac{\sqrt{5}}{5}）$=-$\frac{2}{5}$．
（2）当角α的终边在第二象限，在它的终边上任意任意取一点A（-1，3），
则x=-1，y=3，r=|OP|=$\sqrt{10}$，∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{-1}{\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故 10sinα+$\frac{3}{cosα}$=3$\sqrt{10}$-3$\sqrt{10}$=0．
当角α的终边在第四象限，在它的终边上任意任意取一点A（1，-3），
则x=1，y=-3，r=|OP|=$\sqrt{10}$，∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{-3}{\sqrt{10}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故 10sinα+$\frac{3}{cosα}$=-3$\sqrt{10}$+3$\sqrt{10}$=0．
综上可得 10sinα+$\frac{3}{cosα}$=0．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．