Question

11．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足x²$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow{0}$，x∈R．记△=$\overrightarrow{b}$²-4$\overrightarrow a\overrightarrow c$，下列说法正确的是③．（只填序号）
①若△=0，则x有唯一解；
②若△＞0，则x有两解；
③若△＜0，则x无解．

Answer 1

分析 根据题意，利用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{c}$，代入计算△=$\overrightarrow{b}$²-4$\overrightarrow a\overrightarrow c$，讨论△=0、△＞0和△＜0时x解的情况，从而判断出正确的命题．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足x²$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow{0}$，x∈R，
∴$\overrightarrow{c}$=-x²$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∴△=$\overrightarrow{b}$²-4$\overrightarrow a\overrightarrow c$
=${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$（x²$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）
=${\overrightarrow{b}}^{2}$+4x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
当△=0时，${\overrightarrow{b}}^{2}$+4x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0
∴x²=-$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$，
${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0时x无解，
${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0时x有2解，
${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0时x有1解，故①错误；
当△＞0时，${\overrightarrow{b}}^{2}$+4x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0
∴x²＞-$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$，x有无数解，故②错误；
当△＜0时，${\overrightarrow{b}}^{2}$+4x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0
∴x²＜-$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$，x无解，故③正确．
综上，正确的命题是③．
故答案为：③．

点评 本题考查了平面向量的运算性质与应用问题，也考查了方程与不等式的应用问题，是综合性题目．