Question

2．给出下列四个命题，其中正确的命题是（　　）
①若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC是等边三角形；
②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，则△ABC是钝角三角形；
④若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形．

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 根据三角函数的性质和角的范围进行判断．

解答 解：对于①，∵A-B∈（-π，π），B-C∈（-π，π），C-A∈（-π，π），
∴-1＜cos（A-B）≤1，-1＜cos（B-C）≤1，-1＜cos（C-A）≤1．
∵cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，
∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，故①正确．
对于②，若A=120°，B=30°，显然sinA=cosB，但△ABC不是直角三角形，故②错误．
对于③，若cosAcosBcosC＜0，则cosA，cosB，cosC中必有一个小于0，即必有一个角为钝角，故③正确．
对于④，若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是等腰三角形或是直角三角形，故④错误．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的性质，解三角形，属于中档题．