Question

已知函数f（x）定义域是R，满足对任意的x₁＜x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，且A（0，-2），B（3，2）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜2的解集是（　　）

• A、（1，4）
• B、（-1，2）
• C、（-∞，1）∪[4，+∞]
• D、（-∞，-1）∪[2，+∞）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：因为A（0，-2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，可知f（0）=-2，f（3）=2，所以不等式|f（x+1）|＜2可以变形为-2＜f（x+1）＜2，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根据对任意的x₁＜x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可得函数f（x）是R上的增函数，去函数符号，解出x的范围就得不等式|f（x+1）|＜2的解集．

解答： 解：不等式|f（x+1）|＜2可变形为-2＜f（x+1）＜2，
∵A（0，-2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，∴f（0）=-2，f（3）=2，
∴-2＜f（x+1）＜2等价于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），
又∵对任意的x₁＜x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函数f（x）是R上的增函数，
∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等价于0＜x+1＜3，
解得-1＜x＜2，
∴不等式|f（x+1）|＜2的解集为（-1，2）．
故选：B．

点评：本题主要考查利用函数的单调性解不等式，解决本题的关键是借助函数单调性去掉函数符号．