Question

1．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2A时，恒有F（x₁）+f（x₂）=2b，则称（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究函数f（x）=x³+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（-2016）+f（-2015）+f（-2015）+f（-2014）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）=（　　）

• A． 0
• B． 2016
• C． 4032
• D． 4033

Answer 1

分析 函数f（x）=x³+sinx+1的一个对称中心为（0，1），由此利用倒序相加求和法能求出f（-2016）+f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的结果．

解答 解：∵f（x）=x³+sinx+1，
∴f′（x）=3x²-cosx，f''（x）=6x+sinx，
∵f''（0）=0，f（x）+f（-x）=x³+sinx+1-x³-sinx+1=2，
∴函数f（x）=x³+sinx+1的一个对称中心为（0，1），
即当x₁+x₂=0时，总有f（x₁）+f（x₂）=2，
∴f（-2016）+f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）
=2×2016+f（0）
=4033．
故选：D．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的对称性的合理运用．