Question

11．如图1：已知正方形ABCD的边长是2，有一动点M从点B出发沿正方形的边运动，路线是B→C→D→A．设点M经过的路程为x，△ABM的面积为S．

（1）求函数S=f（x）的解析式及其定义域；
（2）在图2中画出函数S=f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）由题意，当M从B到C过程，三角形ABM的面积为S随x的增大而增大，当M从C到D过程，三角形ABM的面积为S随x的增大而不变，当M从D到A过程，三角形ABM的面积为S随x的增大而减小．分段函数，可得解析式及其定义域．
（2）根据（1）的函数关系式，求值域，作图即可．

解答 解：（1）由题意，当M从B到C时，${S}_{△AMB}=\frac{1}{2}AB•x$=x，（0≤x≤2）
当M从C到D时，S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•BC=2（2＜x≤4），
当M从D到A时，S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•（6-x）=6-x（4＜x≤6），
函数S=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤2）}\\{2，（2＜x≤4）}\\{6-x，（4＜x≤6）}\end{array}\right.$
其定义域为{x|0≤x≤6}．
（2）由（1）的解析式可得：当0≤x≤2时，f（x）=x，值域为[0，2]，
当2＜x≤4时，f（x）=2，值域为{2}
当4＜x≤6时，f（x）=6-x，值域为[0，2）．
故图象如下：

点评 本题考查了实际问题中的分段函数的解析式的求法和图象的画法．属于中档题．