Question

6．已知函数f（x）=k-$\frac{1}{x}$（其中k为常数）；
（1）求：函数的定义域；
（2）证明：函数在区间（0，+∞）上为增函数；
（3）若函数为奇函数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据使函数解析式有意义的原则，可得函数的定义域；
（2）证法一：任取x₁，x₂∈R，且0＜x₁＜x₂，作差判断出f（x₁）-f（x₂）＜0，结合单调性的定义，可得：函数f（x）在R是增函数；
证法二：求导，根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在R是增函数．
（3）要使函数是奇函数，需要使f（-x）+f（x）=0，解得k值．

解答 解：（1）要使函数f（x）=k-$\frac{1}{x}$有意义，显然，只需x≠0
∴该函数的定义域是{x∈R|x≠0}…（3分）
证明：（2）
证法一：在区间（0，+∞）上任取x₁，x₂且令0＜x₁＜x₂，
则：f（x₁）-f（x₂）=（$k-\frac{1}{{x}_{1}}$）（$k-\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$ …（5分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
则函数f（x）在这个区间（0，+∞）上是增函数…（8分）
证法二：∵f（x）=k-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，+∞）时，
f′（x）＞0恒成立，
所以函数f（x）在这个区间（0，+∞）上是增函数…（8分）
（3）由（1）知，函数的定义域关于原点对称．
要使函数是奇函数，需要使f（-x）+f（x）=0…（10分）
则，得：2k=0，即k=0
∴当k=0时，函数是奇函数．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．