Question

16．实数x，y满足条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则m的值为2．

Answer 1

分析 作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，建立方程关系，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{y=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4-m}\\{y=m}\end{array}\right.$即A（4-m，m），
此时z=2×（4-m）+m=8-m，
当直线y=-2x+z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{y=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y=m}\end{array}\right.$，
即B（m-1，m），此时z=2×（m-1）+m=3m-2，
∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，
∴8-m-3m+2=2，
即m=2．
故答案为：2

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．