Question

9．已知关于x的不等式$\frac{ax-6}{x-a}＜0$的解集为M．
（1）当a=2时，求集合M；
（2）若2∈M且6∈M，求实数a的取值范围．
（3）不等式|x-8|≥2的解集为S，若M∪S=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，不等式化为$\frac{2x-6}{x-2}$＜0，推出同解不等式，利用解不等式求得集合M；
（2）由2∈M且6∈M，推出不等式组，然后解分式不等式组，求实数a的取值范围；
（3）不等式|x-8|≥2的解集为S={x|x≤6或x≥10}，由M∪S=R，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（6a-6）（6-a）≤0}\\{（10a-6）（10-a）≤0}\end{array}\right.$，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，不等式$\frac{ax-6}{x-a}＜0$即$\frac{2x-6}{x-2}$＜0，其解集M=（2，3）．
（2）依题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a-6}{2-a}＜0}\\{\frac{6a-6}{6-a}＜0}\end{array}\right.$，解得a＜1或a＞6；
（3）不等式|x-8|≥2的解集为S={x|x≤6或x≥10}，
∵M∪S=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（6a-6）（6-a）≤0}\\{（10a-6）（10-a）≤0}\end{array}\right.$，∴a≥10．

点评 本题考查其他不等式的解法，元素与集合关系的判断，考查分式不等式的解法，是中档题．