Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}，x∈（{0，+∞}）$
（1）求证f（x）在（0，+∞）上递增
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围
（3）当f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0即可证明f（x）在（0，+∞）上递增；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，则则$\left\{\begin{array}{l}{n≥m＞0}\\{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，构造函数y=$\frac{1}{a}$与y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），利用两函数的图象有两个公共点，即求实数a的取值范围；
（3）当f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立⇒a≥$\frac{x}{{2x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}$在（0，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}$，利用基本不等式可求得g（x）_max，从而可求实数a的取值范围．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞），
∴f'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，
则$\left\{\begin{array}{l}{n≥m＞0}\\{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=m+\frac{1}{m}}\\{\frac{1}{a}=n+\frac{1}{n}}\\{n≥m＞0}\end{array}\right.$，
故函数y=$\frac{1}{a}$与y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象有两个公共点，
∵当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$≥2（当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时取“=”），
∴$\frac{1}{a}$≥2，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$．
（3）∵f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立上，
∴a≥$\frac{x}{{2x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}$，
则g（x）≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（当且仅当2x=$\frac{1}{x}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号），
要使（0，+∞）上恒成立，
故a的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，突出考查函数的单调性、最值的应用，考查等价转化思想与函数方程思想，属于难题．