Question

3．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1（常数a＞1），过点A（-a，0）且以t为斜率的直线与椭圆E交于点B，直线BO交椭圆E于点C（O坐标原点）．
（1）求以t为自变量，△ABC的面积S（t）的函数解析式；
（2）若$a=2，t∈[{\frac{1}{2}，1}]$，求S（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设直线AB的方程为：y=t（x+a），代入椭圆方程，求得（a²t²+1）y²-2aty=0，即可求得B的纵坐标，由三角形的面积公式可知：$S（t）={S_{△ABC}}=2{S_{△AOB}}=|{OA}|•{y_B}=\frac{{2{a^2}t}}{{{a^2}{t^2}+1}}（{t＞0，a＞1}）$；
（2）由（1）可知：当a=2时，$S（t）=\frac{8t}{{4{t^2}+1}}=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}$，由$t∈[{\frac{1}{2}，1}]$，根据基本不等式的性质可知$4t+\frac{1}{t}≥2\sqrt{4t•\frac{1}{t}}=4$，即可求得S（t）的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：过点A（-a，0）且以t为斜率的直线与椭圆E交于点B，设直线AB的方程为：y=t（x+a），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=t（{x+a}）}\\{\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，整理得：（a²t²+1）y²-2aty=0，
∴y=0或$y=\frac{2at}{{{a^2}{t^2}+1}}$，则点B的纵坐标为${y_B}=\frac{2at}{{{a^2}{t^2}+1}}$，
∴$S（t）={S_{△ABC}}=2{S_{△AOB}}=|{OA}|•{y_B}=\frac{{2{a^2}t}}{{{a^2}{t^2}+1}}（{t＞0，a＞1}）$．
（2）当a=2时，$S（t）=\frac{8t}{{4{t^2}+1}}=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}$，
∵$t∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
∴$4t+\frac{1}{t}≥2\sqrt{4t•\frac{1}{t}}=4$，
当且仅当$4t=\frac{1}{t}，t=\frac{1}{2}$时，上式等号成立，
∴$S（t）=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}≤\frac{8}{4}=2$，
即S（t）的最大值S（t）_max=2．

点评 本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查焦点三角形的面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．