Question

13．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点与F1、F2，若P为其上一点，则|PF₁|=2|PF₂|，则椭圆离心离的取值范围为[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 由已知结合椭圆的定义求得|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，结合椭圆上的所有点中到右焦点距离最近的点是右顶点，最远的点是左顶点列式求得椭圆离心离的取值范围．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|=2|P{F}_{2}|}\end{array}\right.$，解得|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，
∵a-c≤|PF₂|≤a+c，∴a-c$≤\frac{2}{3}a≤a+c$，解得$\frac{c}{a}≥\frac{1}{3}$，
又e∈（0，1），
∴椭圆离心离的取值范围为[$\frac{1}{3}$，1）．
故答案为：[$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义的应用，明确椭圆上的所有点中到右焦点距离最近的点是右顶点，最远的点是左顶点是解答该题的关键，是中档题．