Question

3．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，若关于正整数n的不等式a_n²-ta_n≤2t²的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为[1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 由2S_n=（n+1）a_n，n≥2时，2S_n-1=na_n-1，则2a_n=2（S_n-S_n-1），整理得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，则$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$═…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，可得：a_n=n．不等式a_n²-ta_n≤2t²，化为：（n-2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a_n²-ta_n≤2t²的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围．

解答 解：∵a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，
∴n≥2时，2S_n-1=na_n-1，
∴2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）a_n-na_n-1，整理得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$═…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n．
不等式a_n²-ta_n≤2t²，化为：（n-2t）（n+t）≤0，t＞0，
∴0＜n≤2t，
关于正整数n的不等式a_n²-ta_n≤2t²的解集中的整数解有两个，
可知n=1，2．
∴1≤t＜$\frac{3}{2}$，
故答案为：[1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．