Question

2．已知f（x）是一个定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＞0，且对于（0，+∞）上的任意两个实数a、b，有f（a）+f（b）=f（ab）．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）令a=b=1得f（1）=2f（1），f（1）=0．
（2）（2）设x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0可证．

解答 解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．，∴f（1）=0．
（2）设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），∵x₁＞x₂＞0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$⇒f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了抽象函数单调性的判定及赋值法，属于基础题．，属于中档题