Question

14．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若D是经过A、B、F₂三点的圆上的点，且D到直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q是椭圆C上异于A的两点，且以PQ为直径的圆过点A，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由即F₁为BF₂的中点，利用直角三角形的性质，求得AF₁=F₁F₂，即a=2c，利用离心率公式即可求得椭圆C的离心率；
（Ⅱ）分别求得A、B、F₂三点坐标，求得外接圆半径，利用点到直线的距离公式，$\frac{丨-\frac{1}{2}a-3丨}{2}$=a，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅲ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m=-$\frac{\sqrt{3}}{7}$即可求得定点坐标．

解答 解：（Ⅰ）连接AF₁，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，AB⊥AF₂，$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，即F₁为BF₂的中点，
则AF₁=F₁F₂，
即a=2c，故椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$；…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，得c=$\frac{1}{2}$a，于是F₂（$\frac{1}{2}$a，0），B（-$\frac{3}{2}$a，0），
Rt△ABC的外接圆圆心为F₁（-$\frac{1}{2}$a，0），半径r=$\frac{1}{2}$丨F₂B丨=a，…（5分）
D到直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0的最大距离等于2a，
∴圆心到直线的距离为a，
∴$\frac{丨-\frac{1}{2}a-3丨}{2}$=a，
解得：a=2，c=1，
b²=a²-b²=3，…（7分）
求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（8分）
（ III）由题意知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，代入消y得：（3+4k²）x+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，得64k²m²-16（3+4k²）（4m²-12）＞0，化简得4k²-m²+3＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，（10分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，y₁y₂=（k₁x+m）（k₂x+m）=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，容易知$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x₁，y₁-$\sqrt{3}$）（x₂，y₂-$\sqrt{3}$）=x₁x₂+y₁y₂-$\sqrt{3}$（y₁+y₂）+3=0，
代入化简得：7m²-6$\sqrt{3}$m-3=0，解得：m=-$\frac{\sqrt{3}}{7}$或m=$\sqrt{3}$（舍），…（13分）
故直线PQ是过定点（0，-$\frac{\sqrt{3}}{7}$）．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．