Question

7．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在y轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为 $2+\sqrt{3}$，最小值为$2-\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．若以AB为直径的圆过坐标原点O，求k的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下$|{\overrightarrow{AB}}|$的值是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设椭圆方程，利用$a+c=2+\sqrt{3}，a-c=2-\sqrt{3}$计算可得结论；
（Ⅱ）通过设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示，计算即得结论；
（Ⅲ）利用点到直线的距离公式、完全平方公式，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，（1分）
由已知得$a+c=2+\sqrt{3}，a-c=2-\sqrt{3}$，（2分）
∴a=2，（3分）
∴$c=\sqrt{3}$，（4分）
∴b²=a²-c²=1，（5分）
所以椭圆C的标准方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$，
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，（7分）
故${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$．（8分）
因为以AB为直径的圆过坐标原点O所以$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0．（9分）
而${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$，
于是${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}-\frac{{3{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}+1=\frac{{-4{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}$．（10分）
所以$k=±\frac{1}{2}$时，x₁x₂+y₁y₂=0，
此时以AB为直径的圆过坐标原点O（11分）
（Ⅲ）当$k=±\frac{1}{2}$时，${x_1}+{x_2}=?\frac{4}{17}$，${x_1}{x_2}=-\frac{12}{17}$．（12分）
$\overrightarrow{|{AB}|}=\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_2}-{x_1}）}^2}}$，（13分）
而${（{x_2}-{x_1}）^2}={（{x_2}+{x_1}）^2}-4{x_1}{x_2}$=$\frac{4^2}{{{{17}^2}}}+4×\frac{4×3}{17}=\frac{{{4^3}×13}}{{{{17}^2}}}$，
所以$\overrightarrow{|{AB}|}=\frac{{4\sqrt{65}}}{17}$．（14分）

点评 本题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．注意解题方法的积累，属于中档题．