Question

18．如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（Ⅰ）求证：△ABE≌△ACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求$\frac{DE}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．
（Ⅱ）证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，利用BD∥MNDC=BC=4，即可求$\frac{DE}{AE}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：由题意∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD
（Ⅱ）解：∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DEC
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{DC}{AB}$
∵BD∥MN，
∴DC=BC=4，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{DC}{AB}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查圆内接多边形的性质与判定，考查相似性的证明，属于中档题．