Question

10．如图，用边长为60cm的正三角形铁皮做一个无盖的三棱柱形容器，先在三个角分别截去一个小四边形（图中阴影部分），然后把三边翻转90°角，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

分析 设箱底边长为x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案．

解答 解：设箱底边长为x，则箱高为h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{60-x}{2}$（0＜x＜60），…（2分）
箱子的容积为V（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}sin60°h$=$\frac{15}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{8}{x}^{3}$（0＜x＜60）．              …（6分）
由V′（x）=0解得x=0（舍），x=40，…（8分）
且当x∈（0，40）时，V′（x）＞0；当x∈（40，60）时，V′（x）＜0，
所以函数V（x）在x=40处取得极大值，…（10分）
这个极大值就是函数V（x）的最大值：V（40）=4000．…（12分）
答：当箱子底边长为40cm时，高为10cm时，箱子容积最大，最大值为4000cm³．                …（14分

点评 本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积V（x）的解析式，是解答的关键．