Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的表面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可；
（Ⅱ）计算各侧面的面积，即可求出四棱锥P-ABCD的表面积S．

解答 （Ⅰ）证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：由题意，AP=AB=$\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{6}$，
∴四棱锥P-ABCD的表面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$+$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$+$\frac{1}{2}×2×2$+$\sqrt{2}×2$=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+3

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的表面积S，考查直线与平面平行的判定，是中档题．