Question

（1）求经过点（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）求过直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点，且与7x+5y+1=0垂直的直线方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系,直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（1）当直线过原点时，直线的方程为y=

3

2

x．当直线不过原点时，设直线的截距式为x+y=a，把点（2，3）代入即可得出．
（2）法一：由

x-2y-3=0 2x-3y-2=0

得交点为（-5，-4）．由所求直线与7x+5y+1=0垂直，可得所求直线斜率k=

5

7

，利用点斜式即可得出；
法二：利用“直线系”由所求直线过直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点，可设所求直线为x-2y-3+λ（2x-3y-2）=0，即（2λ+1）x-（3λ+2）y-（2λ+3）=0，
又∵所求直线与7x+5y+1=0垂直，利用斜率之间的关系可得

2λ+1

3λ+2

=

5

7

，解出即可．

解答： 解：（1）当直线过原点时，直线的方程为y=

3

2

x．
当直线不过原点时，设直线的截距式为x+y=a，
把点（2，3）代入可得a=5．
综上可得：直线的方程为：3x-2y=0或x+y=5．
（2）法一：由

x-2y-3=0 2x-3y-2=0

得

x=-5 y=-4

，交点为（-5，-4）．
又∵所求直线与7x+5y+1=0垂直，
∴所求直线斜率k=

5

7

，
∴所求的直线方程为y+4=

5

7

(x+5)，
化为2x-7y-3=0．
故所求直线方程为5x-7y-3=0．
法二：
由所求直线过直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点，可设所求直线为x-2y-3+λ（2x-3y-2）=0，
即（2λ+1）x-（3λ+2）y-（2λ+3）=0，
又∵所求直线与7x+5y+1=0垂直，∴

2λ+1

3λ+2

=

5

7

，即λ=-3．
故所求直线方程为5x-7y-3=0．

点评：本题考查了直线的截距式、直线的交点、直线系的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．