Question

已知椭圆C的中心为坐标原点，F（-4，0）是C的焦点，过点F作直线l与C交于A，B两点，且AB的中点坐标为（-

10

3

，

2

3

），则椭圆C的方程为（　　）

• A、

  x2

  36

  +

  y2

  20

  =1
• B、

  x2

  25

  +

  y2

  9

  =1
• C、

  x2

  24

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  20

  +

  y2

  4

  =1

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法结合已知条件能求出椭圆方程．

解答： 解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，得：

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
两式相减，得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，
∵AB的中点坐标为（-

10

3

，

2

3

），
∴x1+x2=-

20

3

，y1+y2=

4

3

，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

2 3 -0

- 10 3 +4

=1，
∴

- 20 3

a2

=-

4 3

b2

，∴a²=5b²，①
又a²-b²=16，②
由①②联立，得a²=20，b²=4，
∴椭圆方程为：

x2

20

+

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．