【题目】每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果,现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求:每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答,所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.
⑴求各个年级应选取的学生人数;
⑵若从被选取的10名学生中任选3人,求这3名学生分别来自三个年级的概率;
⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题,另外3道题回答不对,记表示该名学生答对问题的个数,求随机变量
的分布列及数学期望.
【答案】(1)高一年级应选取人,高二年级应选取
人,高三年级应选取
人.(2)
(3)详见解析
【解析】
(1)利用分层抽样求得各年级应抽取的人数;
(2)利用计算原理求得基本事件的总数为,再求出所求事件的基本事件数,再代入古典概型概率计算公式;
(3)随机变量的所有可能取值为
,利用超几何分计算
(
),最后求得期望值.
(1)由题意,知高一、高二、高三年级的人数之比为,由于采用分层抽样方法从中选取
人,因此,高一年级应选取
人,高二年级应选取
人,高三年级应选取
人.
(2)由(1)知,被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有
人、
人、
人,所以,从这
名学生任选
名,且
名学生分别来自三个年级的概率为
.
(3)由题意知,随机变量的所有可能取值为
,
且服从超几何分布,
(
).
所以,随机变量的分布列为
1 | 2 | 3 | 4 | |
所以,随机变量的数学期望为
.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2, ∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AE⊥PC于E,
下列四个结论:①AB⊥AC;②AB⊥平面PAC;③PC⊥平面ABE;④BE⊥PC.正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】下列命题:
①关于、
的二元一次方程组
的系数行列式
是该方程组有解的必要非充分条件;
②已知、
、
、
是空间四点,命题甲:
、
、
、
四点不共面,命题乙:直线
和
不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;
③“”是“对任意的实数
,
恒成立”的充要条件;
④“或
”是“关于
的方程
有且仅有一个实根”的充要条件;
其中,真命题序号是________
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【题目】古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点,若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数,则该点轨迹是一个圆”现在,某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域,以实现5G商用,已知甲、乙两地相距4公里,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍,则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位:平方公里)是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图所示,四棱锥底面是直角梯形,点E是棱PC的中点,
,
底面ABCD,
.
(1)判断BE与平面PAD是否平行,证明你的结论;
(2)证明:平面
;
(3)求三棱锥的体积V.
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【题目】已知椭圆:
, 过点
的直线
:
与椭圆
交于M、N两点(M点在N点的上方),与
轴交于点E.
(1)当且
时,求点M、N的坐标;
(2)当时,设
,
,求证:
为定值,并求出该值;
(3)当时,点D和点F关于坐标原点对称,若△MNF的内切圆面积等于
,求直线
的方程.
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