Question

【题目】每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.

⑴求各个年级应选取的学生人数；

⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；

⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记表示该名学生答对问题的个数，求随机变量的分布列及数学期望.

Answer 1

【答案】（1）高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.（2）（3）详见解析

【解析】

（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；

（2）利用计算原理求得基本事件的总数为，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；

（3）随机变量的所有可能取值为，利用超几何分计算（），最后求得期望值.

（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为，由于采用分层抽样方法从中选取人，因此，高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.

（2）由（1）知，被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人，所以，从这名学生任选名，且名学生分别来自三个年级的概率为.

（3）由题意知，随机变量的所有可能取值为，

且服从超几何分布，（）.

所以，随机变量的分布列为

	1	2	3	4

所以，随机变量的数学期望为

.