Question

16．已知函数f（x）=kx+log₉（9^x+1）（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数g（x）=log₉（a•3^x-$\frac{4}{3}$a）的图象与f（x）的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解．
（2）根据函数g（x）和f（x）图象的交点个数进行讨论求解．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，∴由f（-x）=f（x）得-kx+log₉（9^-x+1）=kx+log₉（9^x+1），
整理得$k=-\frac{1}{2}$；
（2）由题意知，方程$-\frac{1}{2}x+{log_9}（{9^x}+1）={log_9}（a•{3^x}-\frac{4}{3}a）$只有一解，即$（a-1）{3^x}-{3^{-x}}-\frac{4a}{3}=0$有且只有一个实根，
令t=3^x，则t∈（0，+∞），
从而方程$（a-1）{t^2}-\frac{4a}{3}t-1=0$有且只有一个正实根t，
当a-1=0时，$t=-\frac{3}{4}$（舍去），
当a-1≠0时，若判别式△=0，即$\frac{16{a}^{2}}{9}$+4a-4=0，
即4a²+9a-9=0得a=-3或a=$\frac{3}{4}$，
当a=$\frac{3}{4}$时，t＜0，不满足条件．舍去，
若△＞0，则t₁t₂＜0，得$-\frac{1}{a-1}＜0$，则a＞1，
从而所求a的范围是{-3}∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数图象的应用，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．考查学生的运算能力．