Question

【题目】点是曲线：上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于，两点，点是坐标原点，①；②的面积为定值；③曲线上存在两点，使得是等边三角形；④曲线上存在两点，使得是等腰直角三角形，其中真命题的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

设点，得到切线方程后求得坐标，进而知为中点，求得，从而可知①②正确；

过原点作倾斜角等于和的条射线与曲线交于，由对称性可知③正确；

过原点作条夹角等于的射线与曲线交于，由的值的变化过程，可知存在比值等于和的时刻，从而知④正确.

设点，由得切线方程：，即

， 为中点 ，①正确；

，②正确；

过原点作倾斜角等于和的条射线与曲线的交点为

由对称性可知中，，又

为等边三角形，③正确；

过原点作条夹角等于的射线与曲线交于点

当直线的倾斜角从减少到的过程中，的值从变化到

在此变化过程中必然存在的值为和的时刻，此时为等腰直角三角形，④正确.

真命题的个数为个

故选：