Question

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x铀正半轴为极轴，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的参数方程为

x=m+tcosα y=tsinα

（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+

π

4

，θ=φ-

π

4

与曲线C₁交于（不包括极点O）三点A、B、C．
（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=

2

|OA|；
（Ⅱ）当φ=

π

12

时，B，C两点在曲线C₂上，求m与α的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）设三点A、B、C的极坐标分别为（ρ₁，φ），(ρ2，φ+

π

4

)，(ρ3，φ-

π

4

)．把三点A、B、C代入曲线C₁即可证明；
（II）由C₂的方程知C₂的倾斜角为α，过定点（m，0）．当φ=

π

12

时，得出B，C的极坐标，化为直角坐标，再利用斜率计算公式和点斜式即可得出．

解答： 解：（I）设三点A、B、C的极坐标分别为（ρ₁，φ），(ρ2，φ+

π

4

)，(ρ3，φ-

π

4

)．φ
∵三点A、B、C在曲线C₁上，
∴ρ₁=4cosφ，ρ2=4cos(φ+

π

4

)，ρ3=4cos(φ-

π

4

)．
∴|OB|+|OC|=ρ₂+ρ₃=4cos(φ+

π

4

)+4cos(φ-

π

4

)=4

2

cosφ=

2

ρ₁，
∴|OB|+|OC|=

2

|OA|；
（II）由C₂的方程知C₂的倾斜角为α，过定点（m，0）．
当φ=

π

12

时，B，C的极坐标分别为(2，

π

3

)，(2

3

，-

π

6

)．
化为直角坐标为B(1，

3

)，C(3，-

3

)．
∴斜率k=tanα=-

3

，
∵0≤α＜π，
∴α=

2π

3

．
直线C₂的方程为：y-

3

=-

3

(x-1)，
令y=0，解得x=2，
∴m=2．

点评：本题考查了极坐标方程的应用、极坐标与直角坐标直角的关系，属于基础题．