Question

16．已知椭圆C两焦点坐标为（-1，0）和（1，0），点P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段AB是椭圆C的一条动弦，且|AB|=2，求坐标原点O到直线AB距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）分动弦AB垂直于x轴和动弦AB与x轴不垂直讨论，当动弦AB与x轴不垂直时，设出AB所在直线方程y=kx+b，与椭圆方程联立，由弦长得到k与b的关系，然后利用点到直线的距离公式得到原点O到直线AB的距离为h关于b的函数，利用配方法求得最值．

解答 解：（1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，…（1分）
由题可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，…（2分）
解得a²=2，b²=1．…（3分）
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）①若动弦AB垂直于x轴，此时AB为椭圆的短轴，原点到直线AB的距离为0．…（5分）
②若动弦AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=kx+b，
原点O到直线AB的距离为h，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
∵直线l与圆C交于A、B两点，∴△=16k²b²-8（1+2k²）（b²-1）＞0，
即b²＜2k²+1（※）．…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（{b}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，…（8分）
∵|AB|=2，∴$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=2$，
∴$（1+{k}^{2}）•[（-\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（{b}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}]=4$，整理得$\frac{1}{1+{k}^{2}}=2（1-{b}^{2}）$，…（9分）
∵1+k²≥1，∴0＜$\frac{1}{1+{k}^{2}}≤1$，即0＜2（1-b²）≤1，即$\frac{1}{2}≤{b}^{2}＜1$满足※式．
∴$\frac{1}{2}≤{b}^{2}＜1$．…（10分）
${h}^{2}=\frac{{b}^{2}}{1+{k}^{2}}=2{b}^{2}（1-{b}^{2}）=-2{b}^{4}+2{b}^{2}$=$-2（{b}^{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$．
∴当${b}^{2}=\frac{1}{2}$时，h²取得最大值，且最大值为$\frac{1}{2}$，即h的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故坐标原点到动弦AB的最大距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用，是中档题．