Question

13．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1若对任意的n∈N^*，（S_n+$\frac{1}{2}$）•k≥$\frac{1}{3}$恒成立，则实数k的取值范围是$[\frac{2}{9}，+∞）$．

Answer 1

分析 a_n+1=2S_n+1，即S_n+1-S_n=2S_n+1，变形为S_n+1+$\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），利用等比数列的通项公式可得S_n．代入（S_n+$\frac{1}{2}$）•k≥$\frac{1}{3}$，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2S_n+1，∴S_n+1-S_n=2S_n+1，∴S_n+1+$\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），
∴数列{S_n+$\frac{1}{2}$}是等比数列，首项为$\frac{3}{2}$，公比为3．
∴S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，化为：S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．
代入（S_n+$\frac{1}{2}$）•k≥$\frac{1}{3}$，化为：k≥$\frac{2}{{3}^{n+1}}$恒成立，而{$\frac{2}{{3}^{n+1}}$}单调递减，
∴当n=1时，$\frac{2}{{3}^{n+1}}$取得最大值$\frac{2}{9}$．
∴$k≥\frac{2}{9}$．
故答案为：$[\frac{2}{9}，+∞）$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．